Soit $ \overrightarrow{u} \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array} \right) $ et $ \overrightarrow{v} \left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \end{array} \right) $.
Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} $ et le carré scalaire de $ \overrightarrow{u} $, puis indiquer le résultat ci-dessous :
$ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}= $
$ \overrightarrow{u}^{2}= $

     

< Retour au sommaire | Question suivante >

Solution :
$ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}= 3 \times (-2) + 4 \times 3=6 $
$ \overrightarrow{u}^{2}= 3^2+4^2=25$

Soit $ A \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) $ , $ B \left( \begin{array}{c} 3 \\ 5 \end{array} \right) $ et $ C \left( \begin{array}{c} -2 \\ 4 \end{array} \right) $.
Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} $, puis cocher la bonne réponse ci-dessous :
$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =$
Les vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$ sont :  colinéaires   orthogonaux

     

< Retour au sommaire | Question suivante >

Solution :
On a $ \overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ et $ \overrightarrow{AC} \left( \begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array} \right)$.
Donc, $ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times (-3)+3 \times 2=0$ .
On en déduit que les vecteurs sont orthogonaux (et comme aucun n'est égal au vecteur nul, ils ne sont pas colinéaires).

Soit $ D $ la droite d'équation $ 3x-5y+7=0 $. Cocher ci-dessous la bonne réponse :
un vecteur normal de $ D $ est $ \overrightarrow{n} \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right) $
un vecteur normal de $ D $ est $ \overrightarrow{n} \left( \begin{array}{c} 3 \\ -5 \end{array} \right) $
un vecteur normal de $ D $ est $ \overrightarrow{n} \left( \begin{array}{c} 3 \\ 7 \end{array} \right) $

     

< Retour au sommaire | Question suivante >

Solution :
De façon générale, un vecteur normal de la droite d'équation $ ax+by+c=0 $ est $ \overrightarrow{n} \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) $.
Un vecteur normal de $ D : 3x-5y+7=0 $ est $ \overrightarrow{n} \left( \begin{array}{c} 3 \\ -5 \end{array} \right) $ (deuxième choix).

Indiquer ci-dessous les valeurs possibles pour $ a $, $ b $ et $ c $ de façon à ce que $ax+by+c=0$ soit une équation de la droite passant par le point $ A \left( \begin{array}{c} 5 \\ -3 \end{array} \right) $ et de vecteur normal est $ \overrightarrow{n} \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right) $ .
$a=$ 
$b=$ 
$c=$ 

     

< Retour au sommaire | Question suivante >

Solution :
Si un vecteur normal est $ \overrightarrow{n} \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right) $ alors la droite admet une équation de la forme $ -2x+y+c=0 $.
De plus, la droite doit passer par $ A \left( \begin{array}{c} 5 \\ -3 \end{array} \right) $, donc on doit avoir $ -2 \times 5+(-3)+c=0 $.
On en déduit que $ c=13 $ et qu'une équation de la droite est $ -2x+y+13=0 $.
Il faut rentrer -2, 1 et 13 (ou toute autre série proportionnelle à celle-ci).

Soit $ A \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \end{array} \right) $ , $ B \left( \begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array} \right) $ et $ C \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array} \right) $.
Indiquer ci-dessous les valeurs possibles pour $ a $, $ b $ et $ c $ de façon à ce que $ax+by+c=0$ soit une équation de la hauteur issue de $ A $ dans le triangle $ ABC $.
$a=$ 
$b=$ 
$c=$ 

     

< Retour au sommaire | Question suivante >

Solution :
Un vecteur normal de la hauteur est $ \overrightarrow{BC} \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$.
La hauteur admet donc une équation de la forme $ 3x+y+c=0 $.
Elle doit aussi passer par $ A $, donc on doit avoir $ 3 \times 4+(-1)+c=0 $.
On en déduit que $ c=-11 $ et qu'une équation de la hauteur est $ 3x+y-11=0 $.
Il faut rentrer 3, 1 et -11 (ou toute autre série proportionnelle à celle-ci).

Soit $ A \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) $ et $ B \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right) $.
Indiquer ci-dessous les valeurs possibles pour $ a $, $ b $ et $ c $ de façon à ce que $ax+by+c=0$ soit une équation de la médiatrice de $ \left[ AB \right] $.
$a=$ 
$b=$ 
$c=$ 

     

< Retour au sommaire | Question suivante >

Solution :
Un vecteur normal de la médiatrice est $ \overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} 8 \\ 2 \end{array} \right)$.
La médiatrice admet donc une équation de la forme $ 8x+2y+c=0 $.
Le milieu $ I $ de $ \left[ AB \right] $ admet comme coordonnées $ x_{I}=\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}=\dfrac{-3+5}{2}=1 $ et $ y_{I}=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}=\dfrac{1+3}{2}=2 $.
La médiatrice doit aussi passer par $ I $, donc on doit avoir $ 8 \times 1+2 \times 2+c=0 $.
On en déduit que $ c=-12 $ et qu'une équation de la médiatrice est $ 8x+2y-12=0 $.
Il faut rentrer 8, 2 et -12 (ou toute autre série proportionnelle à celle-ci).

Soit $ A \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array} \right) $ et $ B \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) $.
Indiquer ci-dessous les valeurs que doivent prendre $ a $, $ b $ et $ c $ pour que $x^2+y^2+ax+by+c=0$ soit une équation du cercle de diamètre $ \left[ AB \right] $.
$a=$ 
$b=$ 
$c=$ 

     

< Retour au sommaire

Solution :
$ M \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ appartient au cercle de diamètre $ \left[ AB \right] $ si et seulement si
$ \overrightarrow{AM} \left( \begin{array}{c} x-1 \\ y+2 \end{array} \right) \cdot \overrightarrow{BM} \left( \begin{array}{c} x+3 \\ y-1 \end{array} \right) =0$.
$\Leftrightarrow (x-1)(x+3)+(y+2)(y-1)=0 \Leftrightarrow x^2+3x-x-3+y^2-y+2y-2=0$
$ \Leftrightarrow x^2+y^2+2x+y-5=0 $.
Il faut rentrer 2 , 1 et -5