Soit $ \left( U_{n}\right) $ la suite définie (de façon explicite) par $ U_{n}=n^{2}-n $. Calculer les valeurs de $ U_{0} $, $ U_{2} $ et $ U_{10} $. $ U_{0} =$ $ U_{2} =$ $ U_{10} =$
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Solution : $ U_{0} =0^{2}-0=0$ $ U_{2} =2^{2}-2=4-2=2$ $ U_{10} =10^{2}-10=100-10=90$
Soit $ \left( U_{n}\right) $ la suite définie (de façon récurrente) par $ U_{0}=1 $ et $ U_{n+1}=5-3U_{n} $. Calculer les valeurs de $ U_{1} $, $ U_{2} $ et $ U_{3} $. $ U_{1} =$ $ U_{2} =$ $ U_{3} =$
Solution : $ U_{1} =5-3U_{0}=5-3 \cdot 1=2$ $ U_{2} =5-3U_{1}=5-3 \cdot 2=-1$ $ U_{3} =5-3U_{2}=5-3 \cdot (-1)=8$
Soit $ \left( U_{n}\right) $ la suite définie (de façon explicite) par $ U_{n}=6n $. Le but de la question est de déterminer son sens de variation. 1) Calculer $ U_{n+1}-U_{n} $ : $ U_{n+1}-U_{n} =$ 2) En déduire le sens de variation de $ \left( U_{n}\right) $ : $\left( U_{n}\right) $ est ? croissante décroissante ni croissante, ni décroissante
Solution : 1) $ U_{n+1}-U_{n} =6(n+1)-6n=6n+6-6=6$ 2) Pour tout $ n $, $ U_{n+1}-U_{n}>0$ La suite est donc croissante.
Soit $ \left( U_{n}\right) $ la suite définie (de façon explicite) par $ U_{n}=-n^{2} $. Le but de la question est de déterminer son sens de variation. 1) Calculer $ U_{n+1}-U_{n} $ (en fonction de $ n $) : $ U_{n+1}-U_{n} =$ 2) En déduire le sens de variation de $ \left( U_{n}\right) $ : $\left( U_{n}\right) $ est ? croissante décroissante ni croissante, ni décroissante
Solution : 1) $ U_{n+1}-U_{n} =-(n+1)^{2}+n^{2}=-n^{2}-2n-1+n^{2}=-2n-1$ Il faut entrer -2*n-1 2) Pour tout $ n $, $ U_{n+1}-U_{n} \lt 0$ La suite est donc décroissante.
Soit $ \left( U_{n}\right) $ la suite arithmétique de 1er terme $ U_{0}=-1 $ et de raison $ r=3 $. Calculer $ U_{12} $ et $ U_{50} $ : $ U_{12} =$ $ U_{50} =$
Solution : $ U_{12} =U_{0}+12 \cdot r=-1+12 \cdot 3=35$ $ U_{50} =U_{0}+50 \cdot r=-1+50 \cdot 3=149$
Soit $ \left( U_{n}\right) $ la suite arithmétique de 1er terme $ U_{0}=2 $ et de raison $ r=5 $. a) Exprimer $ U_{n} $ en fonction de $ n $ : $ U_{n} =$ b) Que peut-on dire sur le sens de variation de la suite ? $\left( U_{n}\right) $ est ? croissante décroissante ni croissante, ni décroissante
Solution : a) $ U_{n} =U_{0}+n \cdot r=2+5n$ Il faut entrer 2+5*n b) La raison $ r $ étant positive, la suite est croissante.
Soit $ \left( U_{n}\right) $ la suite arithmétique de raison $ r=7 $ telle que $ U_{2}=10 $. Calculer $ U_{7} $ et $ U_{11} $ : $ U_{7} =$ $ U_{11} =$
Solution : $ U_{7} =U_{2}+(7-2) \cdot r=10+5 \cdot 7=45$ $ U_{11} =U_{2}+(11-2) \cdot r=10+9 \cdot 7=73$
Soit $ \left( U_{n}\right) $ la suite arithmétique telle que $ U_{6}=-11 $ et $ U_{20}=-53 $. a) Calculer la raison $r$ : $ r =$ b) Calculer la valeur de $ U_{0} $ : $ U_{0} =$
Solution : a) $ U_{20} =U_{6}+(20-6) \cdot r \Leftrightarrow -53=-11+14r \Leftrightarrow -42=14r \Leftrightarrow r=-3$. b) $U_{6} =U_{0}+6 \cdot r \Leftrightarrow -11=U_{0}+6 \cdot (-3) \Leftrightarrow -11=-18+U_{0} \Leftrightarrow U_{0}=7$
Soit $ \left( U_{n}\right) $ la suite géométrique de 1er terme $ U_{0}=\dfrac{1}{2} $ et de raison $ q=2 $. Calculer $ U_{4} $ et $ U_{8} $ : $ U_{4} =$ $ U_{8} =$
Solution : $ U_{4} =q^{4} \cdot U_{0}=2^{4} \cdot \dfrac{1}{2}=8$ $ U_{8} =q^{8} \cdot U_{0}=2^{8} \cdot \dfrac{1}{2}=128$
Soit $ \left( U_{n}\right) $ la suite géométrique de raison $ q=3 $ telle que $ U_{2}=-2 $ . Calculer $ U_{5} $ et $ U_{8} $ : $ U_{5} =$ $ U_{8} =$
Solution : $ U_{5} =q^{5-2} \cdot U_{2}=3^{3} \cdot (-2)=-54$ $ U_{8} =q^{8-2} \cdot U_{2}=3^{6} \cdot (-2)=-1458$
Soit $ \left( U_{n}\right) $ la suite géométrique telle que $ U_{3}=-40 $ et $ U_{5}=-160 $. a) Calculer la raison $q$ sachant qu'elle doit être négative: $ q =$ b) Calculer la valeur de $ U_{0} $ : $ U_{0} =$
Solution : a) $ U_{5} =q^{5-3} \cdot U_{3} \Leftrightarrow -160 = q^{2} \cdot (-40) \Leftrightarrow q^{2}=4 $. Comme $ q $ doit être négatif, on a $ q=-2 $. b) $ U_{3} =q^{3} \cdot U_{0} \Leftrightarrow -40 = (-2)^{3} \cdot U_{0} \Leftrightarrow U_{0}=5 $.
Soit $ \left( U_{n}\right) $ la suite définie par $ U_{0}=2 $ et $ U_{n+1}=3U_{n}-2 $. On considére la suite $ \left( V_{n}\right) $ définie par $ V_{n}=U_{n}-1 $. Pour tout $ n $, on a : $ V_{n+1}=U_{n+1}-1=3U_{n}-2-1=3U_{n}-3=3V_{n} $. Cela prouve que $ \left( V_{n}\right) $ est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme $ V_{0} =U_{0}-1=1$ . En déduire la seule bonne expression de $ U_{n} $ ci-dessous : $ U_{n}=2+3^{n} $ $ U_{n}=1+3^{n} $ $ U_{n}=3+2^{n} $
Solution : $ \left( V_{n}\right) $ est une suite géométrique. Pour tout $ n $, $ V_{n}=q^{n} \cdot V_{0}=3^{n} \cdot 1=3^{n} $. Or, $ V_{n}=U_{n}-1 $. Donc $ U_{n}=V_{n}+1=1+3^{n} $, pour tout $ n $ .
On place un capital $ U_{0}=5000 $ euros à 6% par an avec intérêts simples. On note $ U_{n} $ le capital obtenu au bout de $ n $ années. a) Quelle est la raison de la suite arithmétique $ \left( U_{n}\right) $ ? 1.06 300 30 b) Quelle est la bonne valeur approchée de $ U_{15} $ (la valeur du capital au bout de 15 ans) : 9500 5450 11983
Solution : a) raison : $ r=\frac{6}{100} \cdot 5000=300 $ b) $ U_{15}=U_{0}+15 \cdot r=5000+15 \cdot 300=9500 $
On place un capital $ U_{0}=1000 $ euros à 5% par an avec intérêts composés. On note $ U_{n} $ le capital obtenu au bout de $ n $ années. a) Quelles est la raison de la suite géométrique $ \left( U_{n}\right) $ ? 1.5 50 1.05 Quelle est la bonne valeur approchée de $ U_{10} $ (la valeur du capital au bout de 10 ans) : 57665 1500 1629
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Solution : a) raison : $ q=1+\frac{5}{100}=1,05 $. b) $ U_{10}=q^{10} \cdot U_{0}=(1,05)^{10} \cdot 1000 \approx 1629 $
