On considère le trinome : $x^2+x-6$ 1) Calculer et entrer son discriminant ci-dessous : $\Delta=b^2-4ac=$ 2) Sélectionner maintenant le nombre de racines que le trinôme admet selon vous : (on ne demande pas de calculer les racines, mais simplement d'en donner le nombre) Nombres de racines : 0 1 2 3) Cliquer sur le bouton "Soumettre votre réponse".
< Retour au sommaire | Question suivante >
Solution : On a $a=1$, $b=1$ et $c=-6$. D'où $\Delta=b^2-4ac=1^2-4(1)(-6)=25>0$. Le trinome admet donc 2 racines.
On considère le trinome : $-3x^2+5x-7$ 1) Calculer et entrer son discriminant ci-dessous : $\Delta=b^2-4ac=$ 2) Sélectionner maintenant le nombre de racines que le trinôme admet selon vous : (on ne demande pas de calculer les racines, mais simplement d'en donner le nombre) Nombres de racines : 0 1 2 3) Cliquer sur le bouton "Soumettre votre réponse".
Solution : On a $a=-3$, $b=5$ et $c=-7$. D'où $\Delta=b^2-4ac=5^2-4(-3)(-7)=-59 \lt 0$. Le trinome n'admet donc aucune racine.
On considère le trinome : $-x^2+4x-4$ 1) Calculer et entrer son discriminant ci-dessous : $\Delta=b^2-4ac=$ 2) Sélectionner maintenant le nombre de racines que le trinôme admet selon vous : (on ne demande pas de calculer les racines, mais simplement d'en donner le nombre) Nombres de racines : 0 1 2 3) Cliquer sur le bouton "Soumettre votre réponse".
Solution : On a $a=-1$, $b=4$ et $c=-4$. D'où $\Delta=b^2-4ac=4^2-4(-1)(-4)=0$. Le trinome n'admet qu'une seule racine
1) Résoudre dans l'ensemble des réels l'équation du second degré : $-x^2+6x-8=0$ 2) Sélectionner ci-dessous le nombre de solutions que l'équation admet selon vous : Nombres de solutions : 0 1 2 3) Cliquer sur le bouton "Soumettre votre réponse". Si vous avez sélectionné un nombre de solutions supérieur à 0, le navigateur vous demandera d'entrer ces solutions pour vérification. Vous devez entrer les solutions éventuelles sous leur forme exacte (pas de valeur approchée).L'ordre d'entrée des solutions n'a pas d'importance.
Solution : On a $a=-1$, $b=6$ et $c=-8$. Donc, $\Delta=b^2-4ac=6^2-4(-1)(-8)=36-32=4>0$ Il y a donc 2 solutions : $x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-6-\sqrt{4}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-8}{-2}=4$ $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-6+\sqrt{4}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-4}{-2}=2$ D'où, $S=\left\{4;2\right\}$.
1) Résoudre dans l'ensemble des réels l'équation du second degré : $9x^2-6x+1=0$ 2) Sélectionner ci-dessous le nombre de solutions que l'équation admet selon vous : Nombres de solutions : 0 1 2 3) Cliquer sur le bouton "Soumettre votre réponse". Si vous avez sélectionné un nombre de solutions supérieur à 0, le navigateur vous demandera d'entrer ces solutions pour vérification. Vous devez entrer les solutions éventuelles sous leur forme exacte (pas de valeur approchée).L'ordre d'entrée des solutions n'a pas d'importance.
Solution : On a $a=9$, $b=-6$ et $c=1$. Donc, $\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4(9)(1)=36-36=0$ Il y a donc une unique solution : $x_{1}=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-(-6)}{2\cdot9}=\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}$ D'où, $S=\left\{\dfrac{1}{3}\right\}$.
1) Résoudre dans l'ensemble des réels l'équation du second degré : $\sqrt{3}x^2-4x+\sqrt{3}=0$ 2) Sélectionner ci-dessous le nombre de solutions que l'équation admet selon vous : Nombres de solutions : 0 1 2 3) Cliquer sur le bouton "Soumettre votre réponse". Si vous avez sélectionné un nombre de solutions supérieur à 0, le navigateur vous demandera d'entrer ces solutions pour vérification. Vous devez entrer les solutions éventuelles sous leur forme exacte (pas de valeur approchée).L'ordre d'entrée des solutions n'a pas d'importance.
Solution : On a $a=\sqrt{3}$, $b=-4$ et $c=\sqrt{3}$. Donc, $\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4(\sqrt{3})(\sqrt{3})=16-12=4>0$ Il y a donc 2 solutions : $x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-4)-\sqrt{4}}{2\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{2}{2\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-4)+\sqrt{4}}{2\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{6}{2\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}$ D'où, $S=\left\{\dfrac{1}{\sqrt{3}};\dfrac{3}{\sqrt{3}}\right\}$. Il faut donc entrer ici les expressions : 1/Rac(3) et 3/Rac(3)
1) Résoudre dans l'ensemble des réels l'équation : $\dfrac{x+3}{x-1}=\dfrac{2x-3}{x-2}$ (remarque : cette équation peut se ramener à une équation du second degré après transformation. On peut penser ici à utiliser le "produit en croix".) 2) Sélectionner ci-dessous le nombre de solutions que l'équation admet selon vous : Nombres de solutions : 0 1 2 3) Cliquer sur le bouton "Soumettre votre réponse". Si vous avez sélectionné un nombre de solutions supérieur à 0, le navigateur vous demandera d'entrer ces solutions pour vérification. Vous devez entrer les solutions éventuelles sous leur forme exacte (pas de valeur approchée).L'ordre d'entrée des solutions n'a pas d'importance.
Solution : Valeurs interdites : $1$ et $2$ . Le produit en croix donne : $(x+3)(x-2)=(x-1)(2x-3) \Leftrightarrow x^2-2x+3x-6=2x^2-3x-2x+3 $$\Leftrightarrow x^2+x-6=2x^2-5x+3 \Leftrightarrow -x^2+6x-9=0$ On obtient une équation du second degré que l'on résoud : On a $a=-1$, $b=6$ et $c=-9$. Donc, $\Delta=b^2-4ac=6^2-4(-1)(-9)=36-36=0$ Le trinome admet donc une seule racine : $\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-6}{-2}=3$ qui n'est pas une valeur interdite. C'est donc aussi une solution de l'équation initiale. D'où, $S=\left\{3\right\}$.
On considère le trinome $2x^2+x-3$ de discrimant $\Delta=b^2-4ac=1^2-4(2)(-3)=25$ Il admet donc deux racines : $x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{25}}{2\cdot 2}=-\dfrac{3}{2}$ et $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{2\cdot 2}=1$ Cocher d'après ces résultats le bon tableau donnant le signe du trinôme, puis cliquer sur "Soumettre votre réponse".
Solution : Le trinôme $2x^2+x-3$ admet un déterminant strictement positif, donc il faut appliquer la règle : "signe de $a$ à l'extérieur des racines". Comme ici $a=2$, on doit avoir la signe "+" à l'extérieur des racines et "-" à l'intérieur. Le bon choix est donc le tableau 1.
On considère le trinome $-x^2+x+2$ de discrimant $\Delta=b^2-4ac=1^2-4(-1)(2)=9$. Il admet donc deux racines : $x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2\cdot (-1)}=2$ et $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2\cdot (-1)}=-1$ D'après ces résultats, compléter ci-dessous le tableau donnant le signe du trinôme en insérant les bons signes (+ ou -), puis cliquer sur "Soumettre votre réponse".
Solution : Le trinôme $-x^2+x+2$ admet un déterminant strictement positif, donc il faut appliquer la règle : "signe de $a$ à l'extérieur des racines". Comme ici $a=-1$, on doit avoir la signe "-" à l'extérieur des racines et "+" à l'intérieur.\\ Le bon tableau de signes est donc le suivant :
On considère le trinome $-4x^2+4x-1$ de discrimant $\Delta=b^2-4ac=4^2-4(-4)(-1)=0$. Il admet donc une racine double : $\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-4}{2 \cdot (-4)}=\dfrac{1}{2}$ D'après ces résultats, compléter ci-dessous le tableau donnant le signe du trinôme en insérant les bons signes (+ ou -), puis cliquer sur "Soumettre votre réponse".
Solution : Le trinôme $-4x^2+4x-1$ admet un déterminant nul, donc il faut appliquer la règle : "le trinôme est toujours du signe de $a$ et s'annule pour la racine double". Comme ici $a=-4$, il faut donc insérer 2 fois le signe "-". Le bon tableau de signes est donc le suivant :
On considère le trinôme $-15x^2-x+2$ de discriminant $\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4(-15)(2)=121>0$. Il admet donc deux racines : $x_{1}=\dfrac{-(-1)-\sqrt{121}}{2\cdot(-15)}=\dfrac{1}{3}$ et $x_{2}=\dfrac{-(-1)+\sqrt{121}}{2\cdot(-15)}=-\dfrac{2}{5}$. D'après ces résultats, cocher ci-dessous le bon ensemble solution de l'inéquation $-15x^2-x+2 \lt 0$ , puis cliquer sur "Soumettre votre réponse". $S=\left]-\dfrac{2}{5};\dfrac{1}{3}\right[$ $S=\left]-\infty;-\dfrac{2}{5}\right] \cup \left[\dfrac{1}{3};+\infty\right[$ $S=\left]-\infty;-\dfrac{2}{5}\right[ \cup \left]\dfrac{1}{3};+\infty\right[$
Solution : Le trinôme $-15x^2-x+2$ admet un déterminant strictement positif, donc il faut appliquer la règle : "signe de $a$ à l'extérieur des racines". Comme ici $a=-15$, on doit avoir la signe "-" à l'extérieur des racines et "+" à l'intérieur. Le tableau donnant le signe du trinôme sur $\mathbb{R}$ est donc le suivant : On en déduit que le bon ensemble solution est : $S=\left]-\infty;-\dfrac{2}{5}\right[\cup\left]\dfrac{1}{3};+\infty\right[$.
1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $x^4-53x^2+196=0$. (remarque : il s'agit d'une équation bicarrée - voir la fiche méthode.) 2) Sélectionner ci-dessous le nombre de solutions que l'équation admet selon vous : Nombres de solutions : 0 1 2 3 4 3) Cliquer sur le bouton "Soumettre votre réponse". Si vous avez sélectionné un nombre de solutions supérieur à 0, le navigateur vous demandera d'entrer ces solutions pour vérification. Vous devez entrer les solutions éventuelles sous leur forme exacte (pas de valeur approchée).L'ordre d'entrée des solutions n'a pas d'importance.
Solution : C'est une équation bicarrée. On effectue le changement d'inconnue : $X=x^2$ L'équation est équivalente au système $\left\{ \begin{array}{l} X=x^2\\ X^2-53X+196=0 \end{array} \right.$ Recherche des racine du trinôme $X^2-53X+196=0$ : On a $a=1$, $b=-53$ et $c=196$. $\Delta=b^2-4ac=(-53)^2-4(1)(196)=2809-784=2025>0$ Il y a donc 2 racines : $X_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-53)-\sqrt{2025}}{2\cdot1}=\dfrac{8}{2}=4$ $X_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-53)+\sqrt{2025}}{2\cdot1}=\dfrac{98}{2}=49$ D'où, $X=4$ ou $X=49$ $\Leftrightarrow$ $x^2=4$ ou $x^2=49$. Ainsi, il y a 4 solutions à l'équation initiale : $-2 ; 2 ; -7 ; 7$ . $S=\left\{-2;2;-7;7\right\}$.
Déterminer les 2 réels dont la somme $S$ est égale à $8$ et dont le produit $P$ est égal à $13$. Entrer alors vos résultats (sous forme exacte) ci-dessous (l'ordre n'a pas d'importance), puis cliquer sur "Soumettre votre réponse". (Exemples de syntaxe correcte : 2 ; -1/3 ; Rac(2) ; (1-Rac(3))/2 ) Premier réel : Deuxième réel :
Solution : Déterminer les réels de somme $S=8$ et de produit $P=13$ revient à résoudre l'équation du second degré : $x^2-Sx+P=0 \Leftrightarrow x^2-8x+13=0$ On a $a=1$, $b=-8$ et $c=13$. $\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4(1)(13)=12>0$ Il y a donc 2 solutions : $x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-8)-\sqrt{12}}{2\cdot1}=\dfrac{8-2\sqrt{3}}{2}=4-\sqrt{3}$ $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-8)+\sqrt{12}}{2\cdot1}=\dfrac{8+2\sqrt{3}}{2}=4+\sqrt{3}$ Il faut donc insérer les expressions 4-Rac(3) et 4+Rac(3).
1) Résoudre dans l'ensemble des réels l'équation : $\sqrt{3-x}=2x-3$. (remarque : il s'agit d'une équation irrationnelle - voir la fiche méthode.) 2) Sélectionner ci-dessous le nombre de solutions que l'équation admet selon vous : Nombres de solutions : 0 1 2 3) Cliquer sur le bouton "Soumettre votre réponse". Si vous avez sélectionné un nombre de solutions supérieur à 0, le navigateur vous demandera d'entrer ces solutions pour vérification. Vous devez entrer les solutions éventuelles sous leur forme exacte (pas de valeur approchée).L'ordre d'entrée des solutions n'a pas d'importance.
< Retour au sommaire >
Solution : Résolution de l'équation $\sqrt{3-x}=2x-3$ : On procéde par implication, puis on devra obligatoirement vérifier les résultats. $\sqrt{3-x}=2x-3 \Rightarrow 3-x=(2x-3)^2 \Rightarrow 3-x=4x^2-12x+9$ $\Rightarrow 4x^2-11x+6=0$ On a $a=4$, $b=-11$ et $c=6$. $\Delta=b^2-4ac=(-11)^2-4(4)(6)=25>0$ Il y a donc 2 racines : $x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-11)-\sqrt{25}}{2\cdot4}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$ $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-11)+\sqrt{25}}{2\cdot4}=\dfrac{16}{8}=2$ Vérification des résultats : $\sqrt{3-\dfrac{3}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$, or $2\cdot\dfrac{3}{4}-3=\dfrac{3}{2}-\dfrac{6}{2} =-\dfrac{3}{2}$. Donc $\dfrac{3}{4}$ n'est pas une solution. $\sqrt{3-2}=1$ et $2\cdot2-3=1$, donc $2$ est bien une solution. Il n'y a donc finalement qu'une solution et $S=\left\{2\right\}$.
