Mathématiques (niveau lycée) - Logiciels libres


Test en ligne : Variations de fonction
Instructions à consulter avant de répondre aux questions :
Dans ce test, on vous demande de sélectionner les bons signes de la dérivée à l'aide des informations données dans les énoncés.
Après avoir répondu à la question, cliquer sur le bouton "Soumettre votre réponse" pour savoir si vos réponses sont justes ou fausses.
Après avoir tenté au moins une fois de répondre à une question, on peut accéder à la réponse détaillée de cette question en cliquant sur le bouton "voir solution" (ce bouton n'apparaît qu'après avoir répondu une fois).

Sommaire :

Question n°1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4x+5$.
On a $f^{\prime}(x)=2x-4$ qui est du premier degré et qui s'annule pour $x=2$.
Sélectionnez dans le tableau ci-dessous les bons signes pour $f'(x)$, puis cliquez sur "Soumettre votre réponse".

$x$
Signe de $f'(x)$
$f(x)$


     

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Question n°2

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3x^2-6x+7$.
On a $f^{\prime}(x)=-6x-6$ qui est du premier degré et qui s'annule pour $x=-1$.
Sélectionnez dans le tableau ci-dessous les bons signes pour $f'(x)$, puis cliquez sur "Soumettre votre réponse".

$x$
Signe de $f'(x)$
$f(x)$


     

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Question n°3

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+5}{2x^2+2}$.
On a $f^{\prime}(x)=\dfrac{2x(2x^2+2)-(x^2+5)(4x)}{\left(2x^2+2\right)^2}=\dfrac{4x^3+4x-4x^3-20x}{\left(2x^2+2\right)^2}=\dfrac{-16x}{\left(2x^2+2\right)^2}$.
Le dénominateur est strictement positif puisque c'est un carré.
Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement de celui de $-16x$.
A partir de ces indications, sélectionnez dans le tableau ci-dessous les bons signes pour $f'(x)$, puis cliquez sur "Soumettre votre réponse".

$x$
Signe de $f'(x)$
$f(x)$


     

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Question n°4

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]2;+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{x^2-4x+5}{x-2}$.
$f^{\prime}(x)=\dfrac{(2x-4)(x-2)-(x^2-4x+5)(1)}{\left(x-2\right)^2}$
$=\dfrac{2x^2-4x-4x+8-x^2+4x-5}{\left(x-2\right)^2}=\dfrac{x^2-4x+3}{\left(x-2\right)^2}$.
Le dénominateur est strictement positif puisque c'est un carré.
Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement de celui du numérateur qui est du second degré.
Discriminant de $x^2-4x+3$ : $\Delta=(-4)^2-4(1)(3)=4 \gt 0$.
Racines : $x_1=\dfrac{4-2}{2}=1$ et $x_2=\dfrac{4+2}{2}=3$.
Comme $f$ n'est définie que sur $\left]2;+\infty\right[$, $3$ est la seule valeur qui intervient dans le tableau de variations.
A partir de ces indications, sélectionnez dans le tableau ci-dessous les bons signes pour $f'(x)$, puis cliquez sur "Soumettre votre réponse".

$x$
Signe de $f'(x)$
$f(x)$


     

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Question n°5

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3-3x^2-36x+1$.
On a $f^{\prime}(x)=6x^2-6x-36=6(x^2-x-6)$.
Le signe de $f'(x)$ est le même que celui de $x^2-x-6$.
Discriminant de $x^2-x-6$ : $\Delta=(-1)^2-4(1)(-6)=25 \gt 0$.
Racines : $x_1=\dfrac{1-5}{2}=-2$ et $x_2=\dfrac{1+5}{2}=3$.
A partir de ces indications, sélectionnez dans le tableau ci-dessous les bons signes pour $f'(x)$, puis cliquez sur "Soumettre votre réponse".

$x$
Signe de $f'(x)$
$f(x)$


     

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Question n°6

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^3+5x^2-3x-2$ .
On a $f^{\prime}(x)=-3x^2+10x-3$.
Discriminant de $-3x^2+10x-3$. : $\Delta=10^2-4(-3)(-3)=64 \gt 0$.
Racines : $x_1=\dfrac{-10-8}{-6}=3$ et $x_2=\dfrac{-10+8}{-6}=\dfrac{1}{3}$.
A partir de ces indications, sélectionnez dans le tableau ci-dessous les bons signes pour $f'(x)$, puis cliquez sur "Soumettre votre réponse".

$x$
Signe de $f'(x)$
$f(x)$


     

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© 2000 / - Pascal Brachet
L'auteur est professeur de mathématiques au lycée Bernard Palissy d'Agen.
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